Question

【題目】如圖，已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的一個焦點(diǎn)為（ ，0），（1， ）是橢圓上的一個點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，P（x0 ， y0）（x0≠0）是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點(diǎn)，直線AM交直線l：y=﹣1于點(diǎn)C，N為線段BC的中點(diǎn)，如果△MON的面積為 ，求y0的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓方程為 ，由題意，得 ．

因?yàn)閍2﹣c2=b2，所以b2=a2﹣3．

又 是橢圓上的一個點(diǎn)，所以 ，解得a2=4或 （舍去），

從而橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）解：因?yàn)镻（x0，y0），x0≠0，則Q（0，y0），且 ．

因?yàn)镸為線段PQ中點(diǎn)，所以 ．

又A（0，1），所以直線AM的方程為 ．

因?yàn)閤0≠0，∴y0≠1，令y=﹣1，得 ．

又B（0，﹣1），N為線段BC的中點(diǎn)，有 ．

所以 ．

因此，

= ．從而OM⊥MN．

因?yàn)? ， ，

所以在Rt△MON中， ，因此 ．

從而有 ，解得

【解析】（1）確定 ，利用 是橢圓上的一個點(diǎn)，代入求出a，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出M，N的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積判斷OM⊥MN，利用△MON的面積為 ，建立方程，即可求y0的值．