Question

19．設(shè)函數(shù)y=f（x）在（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)f′（x），f′（x）在（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f″（x）．若在（a，b）上，f″（x）＞0恒成立，則稱函數(shù)y=f（x）在（a，b）上為“凹函數(shù)”．若f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-ae^x+2是R上的“凹函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)不等式進(jìn)行求解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值即可．

解答 解：∵f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-ae^x+2，
∴函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x-ae^x，
f′′（x）=-x+2-ae^x，
∵f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-ae^x+2是R上的“凹函數(shù)”，
∴f″（x）＞0恒成立，
即f″（x）=-x+2-ae^x＞0恒成立，
即ae^x＜2-x，
即a＜$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，
設(shè)h（x）=$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，
則h′（x）=$\frac{-{e}^{x}-（2-x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{x-3}{{e}^{x}}$，
由h′（x）＞0得x＞3，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由h′（x）＜0，得x＜3，此時(shí)函數(shù)遞減，
故當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值同時(shí)也是最小值h（3）=$\frac{2-3}{{e}^{3}}$=-$\frac{1}{{e}^{3}}$，
則h（x）=$\frac{2-x}{{e}^{x}}$≥-$\frac{1}{{e}^{3}}$，
故a＜-$\frac{1}{{e}^{3}}$，
即a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{{e}^{3}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵．