Question

16．已知M是橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的動點，N是圓（x-1）²+y²=1的動點，求|MN|最小值．

Answer 1

分析 求得圓的圓心A和半徑r，設(shè)M（3cosα，2sinα）（0≤α＜2π），運用兩點的距離公式，結(jié)合同角的平方關(guān)系，配方由二次函數(shù)的最值求法，可得|AM|的最小值，即可得到|MN|的最小值為|AM|-r．

解答 解：在橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1中，a=3，b=2，c=$\sqrt{5}$，
圓（x-1）²+y²=1圓心坐標是A（1，0），半徑r=1，
設(shè)M（3cosα，2sinα）（0≤α＜2π），
則|AM|=$\sqrt{（3cosα-1）^{2}+4si{n}^{2}α}$=$\sqrt{9co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α-6cosα+1}$
=$\sqrt{5co{s}^{2}α-6cosα+5}$=$\sqrt{5（cosα-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{16}{5}}$，
由于cosα∈[-1，1]，當cosα=$\frac{3}{5}$時，|AM|取得最小值，且為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
即有|MN|的最小值為|AM|-r=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$-1．

點評 本題考查橢圓上的點到圓上的點的距離最小值，解題時要認真審題，注意運用橢圓的參數(shù)方程的運用，以及二次函數(shù)的最值的求法，值域中檔題．