Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-1，對任意$x∈[-\frac{3}{2}，-\frac{3}{4}]$，$f（\frac{x}{m}）-4{m^2}f（x）≤f（x-1）+4f（m）$恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 先把原不等式整理后轉(zhuǎn)化為（$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²-1）x²+2x+3≤0，即為$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²-1≤$\frac{-2x-3}{{x}^{2}}$對任意$x∈[-\frac{3}{2}，-\frac{3}{4}]$恒成立．再利用配方，運(yùn)用單調(diào)性，即可得到右邊函數(shù)的最小值，解不等式即可得到m的范圍．

解答 解：不等式$f（\frac{x}{m}）-4{m^2}f（x）≤f（x-1）+4f（m）$，
整理得（$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²-1）x²+2x+3≤0，
即為$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²-1≤$\frac{-2x-3}{{x}^{2}}$對任意$x∈[-\frac{3}{2}，-\frac{3}{4}]$恒成立．
令g（x）=$\frac{-2x-3}{{x}^{2}}$=-3（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{3}$，
由$x∈[-\frac{3}{2}，-\frac{3}{4}]$，可得$\frac{1}{x}$∈[-$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$]，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得x=-$\frac{4}{3}$取得最小值，
且為g（-$\frac{4}{3}$）=-$\frac{8}{3}$，
即有$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²-1≤-$\frac{8}{3}$，
解得m²≥$\frac{3}{4}$，
即有m≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$或m≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的恒成立問題．注意運(yùn)用參數(shù)分離和運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．