Question

7．已知平面上的動點P（x，y）及兩定點M（-2，0）、N（2，0），直線PM、PN的斜率之積為定值$-\frac{3}{4}$，設動點P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設Q（x₀，y₀）（y₀＞0）是曲線C上一動點，過Q作兩條直線l₁，l₂分別交曲線C于A，B兩點，直線l₁與l₂的斜率互為相反數(shù)．試問：直線AB的斜率與曲線C在Q點處的切線的斜率之和是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用直線的斜率公式，化簡整理可得曲線的方程；
（Ⅱ）設直線l₁的斜率為k，則直線l₂的斜率為-k，設l₁：y-y₀=k（x-x₀），代入橢圓方程，運用韋達定理，可得A的橫坐標，同理可得B的橫坐標，由直線的斜率公式可得AB的斜率，再由橢圓上一點的切線的斜率，即可得到定值0．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得x≠±2，k_PM=$\frac{y}{x+2}$，k_PN=$\frac{y}{x-2}$，
由題意可得$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-$\frac{3}{4}$，
化簡可得曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（y≠0）；
（Ⅱ）設直線l₁的斜率為k，則直線l₂的斜率為-k，
設l₁：y-y₀=k（x-x₀），代入橢圓方程可得
（3+4k²）x²+8k（y₀-kx₀）x+4（kx₀-y₀）²-12=0，
x₀x_A=$\frac{4（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，可得x_A=$\frac{4（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}-12}{（3+4{k}^{2}）{x}_{0}}$，
同理可得x_B=$\frac{4（k{x}_{0}+{y}_{0}）^{2}-12}{（3+4{k}^{2}）{x}_{0}}$，
又3x₀²+4y₀²=12，
k_AB=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=$\frac{k（{x}_{A}-{x}_{0}）+k（{x}_{B}-{x}_{0}）}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=$\frac{k[（{x}_{A}+{x}_{B}）-2{x}_{0}]}{{x}_{A}-{x}_{B}}$，
代入A，B的橫坐標，可得k_AB=$\frac{k（4{{y}_{0}}^{2}-12-3{{x}_{0}}^{2}）}{-8k{x}_{0}{y}_{0}}$=$\frac{k（-3{{x}_{0}}^{2}-3{{x}_{0}}^{2}）}{-8k{x}_{0}{y}_{0}}$=$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$，
對$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（y≠0）兩邊對x求導，可得$\frac{1}{2}$x+$\frac{2}{3}$y•y′=0，
可得曲線在Q點處的切線的斜率為-$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$，
即有直線AB的斜率與曲線C在Q點處的切線的斜率之和為定值，且為0．

點評 本題考查軌跡方程的求法，同時考查橢圓的方程和直線方程聯(lián)立，運用韋達定理，同時考查直線的斜率公式和導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查運算能力，屬于中檔題．