Question

7．已知平面上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）及兩定點(diǎn)M（-2，0）、N（2，0），直線(xiàn)PM、PN的斜率之積為定值$-\frac{3}{4}$，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（x₀，y₀）（y₀＞0）是曲線(xiàn)C上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作兩條直線(xiàn)l₁，l₂分別交曲線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l₁與l₂的斜率互為相反數(shù)．試問(wèn)：直線(xiàn)AB的斜率與曲線(xiàn)C在Q點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率之和是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用直線(xiàn)的斜率公式，化簡(jiǎn)整理可得曲線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l₁的斜率為k，則直線(xiàn)l₂的斜率為-k，設(shè)l₁：y-y₀=k（x-x₀），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得A的橫坐標(biāo)，同理可得B的橫坐標(biāo)，由直線(xiàn)的斜率公式可得AB的斜率，再由橢圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率，即可得到定值0．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得x≠±2，k_PM=$\frac{y}{x+2}$，k_PN=$\frac{y}{x-2}$，
由題意可得$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-$\frac{3}{4}$，
化簡(jiǎn)可得曲線(xiàn)C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（y≠0）；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l₁的斜率為k，則直線(xiàn)l₂的斜率為-k，
設(shè)l₁：y-y₀=k（x-x₀），代入橢圓方程可得
（3+4k²）x²+8k（y₀-kx₀）x+4（kx₀-y₀）²-12=0，
x₀x_A=$\frac{4（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，可得x_A=$\frac{4（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}-12}{（3+4{k}^{2}）{x}_{0}}$，
同理可得x_B=$\frac{4（k{x}_{0}+{y}_{0}）^{2}-12}{（3+4{k}^{2}）{x}_{0}}$，
又3x₀²+4y₀²=12，
k_AB=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=$\frac{k（{x}_{A}-{x}_{0}）+k（{x}_{B}-{x}_{0}）}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=$\frac{k[（{x}_{A}+{x}_{B}）-2{x}_{0}]}{{x}_{A}-{x}_{B}}$，
代入A，B的橫坐標(biāo)，可得k_AB=$\frac{k（4{{y}_{0}}^{2}-12-3{{x}_{0}}^{2}）}{-8k{x}_{0}{y}_{0}}$=$\frac{k（-3{{x}_{0}}^{2}-3{{x}_{0}}^{2}）}{-8k{x}_{0}{y}_{0}}$=$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$，
對(duì)$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（y≠0）兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得$\frac{1}{2}$x+$\frac{2}{3}$y•y′=0，
可得曲線(xiàn)在Q點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為-$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$，
即有直線(xiàn)AB的斜率與曲線(xiàn)C在Q點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率之和為定值，且為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，同時(shí)考查橢圓的方程和直線(xiàn)方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查直線(xiàn)的斜率公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的斜率，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．