Question

5．已知函數(shù)f（x）=x-plnx．
（Ⅰ）當(dāng)p=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出p=1的函數(shù)f（x），求出定義域和導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（ II）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合定義域，討論當(dāng)p≤0時，當(dāng)p＞0時，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，進(jìn)而得到極值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)p=1時，f（x）=x-lnx，定義域為（0，+∞），
由$f'（x）=1-\frac{1}{x}＜0$，可解得0＜x＜1，f′（x）＞0，可解得x＞1．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；單調(diào)遞增區(qū)間（1，+∞）；  
（ II）由f（x）=x-plnx，可得$f'（x）=1-\frac{p}{x}=\frac{x-p}{x}$，x∈（0，+∞），
當(dāng)p≤0時，f′（x）＞0當(dāng)x∈（0，+∞）時恒成立；
此時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以無極值．         
當(dāng)p＞0時，令f′（x）=0可得x=p；                          
當(dāng)0＜x＜p時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞p時，f′（x）＞0，
所以x=p是函數(shù)f（x）的極小值點，極小值為f（p）=p-plnp； 
綜上所述，當(dāng)p≤0時函數(shù)f（x）無極值．
當(dāng)p＞0時函數(shù)f（x）有極小值p-plnp，無極大值．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，同時考查函數(shù)的單調(diào)性，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．