Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}的首項a₁≠$\frac{3}{5}$，且a_n+1+2a_n=3ⁿ，a_n-b_n=$\frac{3^n}{5}$，（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明：{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若a₁=$\frac{3}{2}$，數(shù)列{a_n}中是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列？若存在，寫出這三項，若不存在說明理由．
（Ⅲ）若{a_n}是遞增數(shù)列，求a₁的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用已知關(guān)系式證明$\frac{_{n+1}}{_{n}}$為常數(shù)即可；
（II）利用（I）可得b_n，進而得到a_n．若{a_n}中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列，則必有2a_n+1=a_n+a_n+2，解出即可．
（III）如果a_n+1＞a_n成立，可得$\frac{4}{15}•{3^n}＞-（{a_1}-\frac{3}{5}）{（-2）^n}$，對n分類討論即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{n+1}}-\frac{1}{5}•{3^{n+1}}}}{{{a_n}-\frac{1}{5}•{3^n}}}=-2$，且${b_1}={a_1}-\frac{3}{5}≠0$，
∴數(shù)列{b_n}是首項為${a_1}-\frac{3}{5}$，公比為-2的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知{b_n}是首項為${a_1}-\frac{3}{5}={b_1}=\frac{9}{10}$，公比為-2的等比數(shù)列．
∴${b_n}={a_n}-\frac{1}{5}•{3^n}=\frac{9}{10}•{（-2）^{n-1}}⇒{a_n}=\frac{1}{5}•{3^n}+\frac{9}{10}•{（-2）^{n-1}}$，
若{a_n}中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列，則必有2a_n+1=a_n+a_n+2，
即$2[\frac{1}{5}•{3^{n+1}}+\frac{9}{10}•{（-2）^n}]=\frac{1}{5}•{3^n}+\frac{9}{10}•{（-2）^{n-1}}+\frac{1}{5}•{3^{n+2}}+\frac{9}{10}•{（-2）^{n+1}}$
解得n=4，即a₄，a₅，a₆成等差數(shù)列．
（Ⅲ）解：如果a_n+1＞a_n成立，即$\frac{1}{5}•{3^{n+1}}+（{a_1}-\frac{3}{5}）•{（-2）^n}＞\frac{1}{5}•{3^n}+（{a_1}-\frac{3}{5}）•{（-2）^{n-1}}$對任意自然數(shù)均成立．
化簡得$\frac{4}{15}•{3^n}＞-（{a_1}-\frac{3}{5}）{（-2）^n}$，
當n為偶數(shù)時，${a_1}＞\frac{3}{5}-\frac{4}{15}{（\frac{3}{2}）^n}$，
∵$p（n）=\frac{3}{5}-\frac{4}{15}{（\frac{3}{2}）^n}$是遞減數(shù)列，∴p（n）_max=p（2）=0，即a₁＞0；
當n為奇數(shù)時，${a_1}＜\frac{3}{5}+\frac{4}{15}{（\frac{3}{2}）^n}$，
∵$q（n）=\frac{3}{5}+\frac{4}{15}{（\frac{3}{2}）^n}$是遞增數(shù)列，∴q（n）_min=q（1）=1，即a₁＜1；
故a₁的取值范圍為（0，1）．

點評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．