Question

3．已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=$\sqrt{3}$．已知PB=PC．
（1）若N為PA的中點，求證：DN∥平面PBC；
（2）若M為BC的中點，求證：MN⊥BC．

Answer 1

分析 （1）取PB的中點G，連接NG，CG，經(jīng)C點作CM∥AD，交AB與點M，利用已知可證：NG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB$\stackrel{∥}{=}$DC，從而得證四邊形DCGN是平行四邊形，得證DN∥CG，從而證明DN∥平面PBC．
（2）由（1）可求BC，BM，AM，由勾股定理可得AM⊥BC，又PB=PC，M為BC的中點，可證PM⊥BC，通過證明BC⊥平面PAM，即可得證BC⊥MN．

解答 證明：（1）取PB的中點G，連接NG，CG，
∵N為PA的中點，
∴NG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
再，經(jīng)C點作CM∥AD，交AB與點M，
∵ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=$\sqrt{3}$，
∴BM=$\frac{CM}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=1，AB=2，
∴NG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB$\stackrel{∥}{=}$DC，即四邊形DCGN是平行四邊形，
∴DN∥CG，
∵DN?平面PBC，CG?平面PBC，
∴DN∥平面PBC．
（2）由（1）可得：BC=2，
∵M為BC的中點，可得：BM=1，
∴利用余弦定理可得：AM²=2²+1²-2×2×1×cos60°=3，
∴AM²+BM²=3+1=4=AB²，由勾股定理可得AM⊥BC，
又∵PB=PC，M為BC的中點，
∴PM⊥BC，
∴由AM∩PM=M，可得BC⊥平面PAM，
又MN?平面PAM，
∴BC⊥MN．

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．