Question

18．已知方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=z-2u}\\{2yz=ux}\end{array}\right.$，對(duì)此方程組的每一組正實(shí)數(shù)解{x，y，z，u}，其中z≥y，都存在正實(shí)數(shù)M，且滿足M≤$\frac{z}{y}$，則M的最大值是6+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 把已知方程組中第一式變形，得到2y+z=x+2u≥2$\sqrt{2xu}$，結(jié)合第二式得到2y+z≥4$\sqrt{yz}$，兩邊同時(shí)除以y，得到關(guān)于$\sqrt{\frac{z}{y}}$的不等式，換元后求解不等式得到$\sqrt{\frac{z}{y}}$的范圍，則答案可求．

解答 解：由題意，2y+z=x+2u≥2$\sqrt{2xu}$=4$\sqrt{yz}$，
∴2+$\frac{z}{y}$≥4$\sqrt{\frac{z}{y}}$，
令t=$\sqrt{\frac{z}{y}}$，則t≥1，2+t²≥4t，
∴t²-4t+2≥0，
∵t≥1，
∴t≥2+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{z}{y}$=t²≥6+4$\sqrt{2}$，
∵存在正實(shí)數(shù)M，且滿足M≤$\frac{z}{y}$，
∴M≤6+4$\sqrt{2}$，
∴M的最大值是6+4$\sqrt{2}$．
故答案為：6+4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵，是中檔題．