Question

16．已知定義在R上的函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)a、b都有f（a+b）=f（a）+f（b），并且當x＞0時，f（x）＞0
（1）求證：f（x）是單調(diào)遞增的奇函數(shù)；
（2）若f（1）=1，解關(guān)于m的不等式f（3m²-m-2）＜2．

Answer 1

分析 （1）先看奇偶性，用賦值法，先令實數(shù)a，b都為零，求得f（0），然后根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義進行證明即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式進行轉(zhuǎn)化即可．

解答 證明：（1）∵f（a+b）=f（a）+f（b），
∴令a=b=0，f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令a=x，b=-x
∴f（x）+f（-x）=f（0）
∴f（x）為奇函數(shù)，
任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x＞0時，f（x）＞0，且x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）為R上的增函數(shù)，
即f（x）是單調(diào)遞增的奇函數(shù)；
（2）若f（1）=1，則f（2）=f（1）+f（1）=1+1=2，
則關(guān)于m的不等式f（3m²-m-2）＜2等價為f（3m²-m-2）＜f（2），
∵f（x）單調(diào)遞增；
∴3m²-m-2＜2，
即3m²-m-4＜0，
即-1＜m＜$\frac{4}{3}$．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用，在解決過程中，賦值法是常用的方法，嚴格落實主條件轉(zhuǎn)化問題是關(guān)鍵．