Question

16．已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，其前n項和為S_n，且S₁，S₂的等差中項為S₃，若8（a₁+a₃）=-5．
（1）求數(shù)列[a_n]的通項公式；
（2）記R_n=|$\frac{1}{a_1}|+|\frac{2}{a_2}|+|\frac{3}{a_3}|+…+|\frac{n}{a_n}$|，對于任意的n≥2，n∈N^*，不等式m（R_n-n-1）≥（n-1）²恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，運用等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式，列方程，解得首項和公比，即可得到所求通項公式；
（2）運用錯位相減法求得R_n，再由參數(shù)分離和數(shù)列的單調(diào)性，可得最大值，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
S₁，S₂的等差中項為S₃，可得2S₃=S₁+S₂，
即為2（a₁+a₁q+a₁q²）=a₁+a₁+a₁q，
又8（a₁+a₃）=-5．即為8（a₁+a₁q²）=-5，
解得a₁=q=-$\frac{1}{2}$，
∴${a_n}={（-\frac{1}{2}）^n}（n∈{N^*}）$；
（2）${R_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n×{2^n}$，
2R_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
-R_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$n•2ⁿ⁺¹，即R_n=n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2，
n≥2，n∈N^*，不等式m（R_n-n-1）≥（n-1）²恒成
即m（n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2-n-1）≥（n-1）²
即$m≥\frac{n-1}{{{2^{n+1}}-1}}（n≥2，n∈{N^*}）$恒成立，
記$f（n）=\frac{n-1}{{{2^{n+1}}-1}}，f（n+1）-f（n）=\frac{n}{{{2^{n+2}}-1}}-\frac{n-1}{{{2^{n+1}}-1}}=\frac{{（2-n）•{2^{n+1}}-1}}{{（{2^{n+2}}-1）•（{2^{n+1}}-1）}}＜0$，
∴f（n）單調(diào)遞減．                                                
∴$f（n）≤f（2）=\frac{2-1}{{{2^3}-1}}=\frac{1}{7}$∴$m≥\frac{1}{7}$，
∴n≥2，n∈N^*，不等式m（R_n-n-1）≥（n-1）²恒成立的實數(shù)m的取值范圍為$[\frac{1}{7}，+∞）$．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和性質(zhì)的運用，考查數(shù)列的單調(diào)性的證明和運用：求不等式恒成立問題，考查運算能力，屬于中檔題．