Question

17．用拉格朗日中值定理證明不等式：$\frac{x}{1+x}$＜ln（1+x）＜x（x＞0）．

Answer 1

分析 拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內導數(shù)都存在，則在（a，b）內至少存在一點x₀，使得f′（x₀）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$．令g（t）=lnt，t∈（a，b），則g（t）符合拉格朗日中值定理的條件，即存在t₀∈（a，b），使g′（t₀）=$\frac{g（b）-g（a）}{b-a}$，由函數(shù)g′（t）=$\frac{1}{t}$的性質，令$\frac{a}$=1+x，即可證得結果．

解答 證明：設g（t）=lnt，t∈（a，b），
則g（x）符合拉格朗日中值定理的條件，即存在t₀∈（a，b），
使g′（t₀）=$\frac{g（b）-g（a）}{b-a}$，
因為g′（t）=$\frac{1}{t}$，由t∈（a，b），0＜a＜b，
可知g′（t）∈（$\frac{1}$，$\frac{1}{a}$），b-a＞0，
即$\frac{1}$＜g′t₀）=$\frac{g（b）-g（a）}{b-a}$＜$\frac{1}{a}$，
可得$\frac{1}$＜$\frac{g（b）-g（a）}{b-a}$=$\frac{lnb-lna}{b-a}$＜$\frac{1}{a}$，
即有$\frac{b-a}$＜ln$\frac{a}$＜$\frac{b-a}{a}$，
令$\frac{a}$=1+x，可得x=$\frac{a}$-1，
即有$\frac{x}{1+x}$＜ln（1+x）＜x（x＞0）．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用拉格朗日中值定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．