Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，an+1=

an

2an+1

（n∈N^*）．
（1）求證{

1

an

}是等差數(shù)列；（要指出首項(xiàng)與公差）；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求證：Tn＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由an+1=

an

2an+1

，得：

1

an+1

=

2an+1

an

，由此能證明數(shù)列{

1

an

}是以首項(xiàng)

1

a1

=1，公差d=2的等差數(shù)列．
（2）由（1）得

1

an

=

1

a1

+(n-1)d=2n-1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項(xiàng)求和法能證明Tn＜

1

2

．

解答： （1）解：由an+1=

an

2an+1

，得：

1

an+1

=

2an+1

an

∴

1

an+1

=

1

an

+2，
∴

1

an+1

-

1

an

=2，又a₁=1，∴

1

a1

=1，
∴數(shù)列{

1

an

}是以首項(xiàng)

1

a1

=1，公差d=2的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）得：

1

an

=

1

a1

+(n-1)d=2n-1
∴an=

1

2n-1

．
（3）證明：∵anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=a1a2+a2a3+…+anan+1=

1

2

(

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n-1

)+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

∴Tn＜

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．