Question

5．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρ²=$\frac{15}{1+2co{s}^{2}θ}$，直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
（I）寫出直線l的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C的兩個交點(diǎn)分別為A、B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （I）直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），由直角坐標(biāo)方程可得極坐標(biāo)方程．
（II）曲線C：ρ²=$\frac{15}{1+2co{s}^{2}θ}$，化為：ρ²+2ρ²cos²θ=15，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程，把直線l的參數(shù)方程代入上述方程，利用參數(shù)的意義即可得出．

解答 解：（I）直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），

由直角坐標(biāo)方程可得極坐標(biāo)方程：$θ=\frac{π}{6}$（ρ∈R）．
（II）曲線C：ρ²=$\frac{15}{1+2co{s}^{2}θ}$，
化為：ρ²+2ρ²cos²θ=15，化為直角坐標(biāo)方程：3x²+y²=15．
把直線l的參數(shù)方程代入上述方程可得：$3×\frac{3}{4}{t}^{2}+\frac{1}{4}{t}^{2}$=15，
可得：t²=6，解得t=$±\sqrt{6}$．
∴|AB|=$2\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、直線與橢圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．