Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知M為曲線C₁：ρ=4sinθ上任意一點(diǎn)，$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，點(diǎn)P的軌跡記為C₂．
（1）求曲線C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）直線θ=$\frac{π}{3}$與C₁交于點(diǎn)A，直線θ=$\frac{2π}{3}$與C₂交于點(diǎn)B，點(diǎn)A、B均異于O，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．設(shè)P（x，y），由$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，可得M$（\frac{1}{2}x，\frac{1}{2}y）$，代入上述方程可得直角坐標(biāo)方程，利用互化公式即可得出極坐標(biāo)方程．
（2）利用極坐標(biāo)方程、余弦定理即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁：ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，
化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4y．
設(shè)P（x，y），
∵$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，
∴M$（\frac{1}{2}x，\frac{1}{2}y）$，代入上述方程可得：$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{1}{4}{y}^{2}$=2y，化為x²+y²-8y=0．
可得極坐標(biāo)方程：ρ²-8ρsinθ，即ρ=8sinθ．
（2）直線θ=$\frac{π}{3}$代入C₁，可得ρ₁=$4sin\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$，
直線θ=$\frac{2π}{3}$代入C₂可得：ρ₂=8$sin\frac{2π}{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴∠AOB=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$．
∴|AB|²=$（2\sqrt{3}）^{2}$+$（4\sqrt{3}）^{2}$-×$2\sqrt{3}×4\sqrt{3}$cos$\frac{π}{3}$=48．
∴|AB|=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．