Question

2．已知：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示：
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若g（x）的圖象是將f（x）的圖象先向右平移1個單位，然后縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)縮短到原來的一半得到的，求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由圖象可知：A=$\sqrt{2}$，$\frac{T}{4}$=4，ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{8}$，將（-2，0）代入f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+φ），即可求得φ的值；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）的圖象變換，求得g（x）的解析式，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{8}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）由函數(shù)圖象可知：A=$\sqrt{2}$，
$\frac{T}{4}$=2-（-2）=4，T=16，
由ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{8}$，
將（-2，0）代入f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+φ），
∵$\frac{π}{8}$×（-2）+φ=2kπ（k∈Z），|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，解得：φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$），
（2）將f（x）圖象先向右平移1個單位得y=f（x+1）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{8}$），縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)縮短到原來的一半得到，
g（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{8}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{8}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得：8k-$\frac{5}{2}$≤x≤8k+$\frac{3}{2}$，k∈Z，
g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[8k-$\frac{5}{2}$，8k+$\frac{3}{2}$]k∈Z．

點評 本題考查求函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）的解析式，考查函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）圖象變換及單調(diào)性，屬于中檔題．