Question

設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=

(a+5)x+b

x+1

在（0，+∞）上是增函數(shù)，命題q：方程x²-ax+b-2=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根．求使得p∧q是真命題的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）為坐標(biāo)的點(diǎn)的軌跡圖形及其面積．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：先求出命題p，q下a，b所滿足的條件，根據(jù)p∧q為真命題得到p，q都是真命題，從而得到限制a，b的不等式：

a-b+5＞0 a2-4b+8＞0 a＜0 b-2＞0

，畫出該不等式所表示的區(qū)域，根據(jù)定積分求其面積即可．

解答： 解：f（x）=

(a+5)x+b

x+1

，f′（x）=

a-b+5

(x+1)2

；
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f′（x）＞0，∴a-b+5＞0；
∵方程x²-ax+b-2=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根；
∴

a2-4b+8＞0 a＜0 b-2＞0

；
∵p∧q為真命題，∴p，q都為真命題；
∴

a-b+5＞0 a2-4b+8＞0 a＜0 b-2＞0

∴該不等式所表示的區(qū)域如圖所示：
圖中陰影部分便是（a，b）為坐標(biāo)的點(diǎn)的軌跡圖形，它的面積計(jì)算如下：
S=∫-3-2(x+5-2)dx+∫-20(

1

4

x2+2-2)dx=(

1

2

x2+3x)|-3-2+

1

12

x3|-20=

7

6

．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，一元二次方程的實(shí)數(shù)根和判別式△的關(guān)系，韋達(dá)定理，找不等式組所表示的平面區(qū)域，定積分求不規(guī)則圖形的面積．