Question

16．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為3，點(diǎn)P是過三個(gè)頂點(diǎn)A₁，B₁，C₁所在平面上一動點(diǎn)，且滿足|PD|+|PB₁|=2+$\sqrt{13}$，則直線B₁P與直線AD₁所成角余弦值的取值范圍是[0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 取BC₁的中點(diǎn)E，作點(diǎn)B₁在平面A₁BC₁內(nèi)的投影O，過O作OF∥BC₁，交A₁B于點(diǎn)F，連結(jié)B₁D、A₁E，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)F、OE、OB₁所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線B₁P與直線AD₁所成角余弦值的取值范圍．

解答 解：取BC₁的中點(diǎn)E，作點(diǎn)B₁在平面A₁BC₁內(nèi)的投影O
過O作OF∥BC₁，交A₁B于點(diǎn)F，連結(jié)B₁D、A₁E，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)F、OE、OB₁所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得D（0，0，-2$\sqrt{3}$），B₁（0，0，-$\sqrt{3}$），${B}_{1}（0，0，\sqrt{3}）$，B（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），C₁（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），
設(shè)P（x，y，z），則$\overrightarrow{PD}$=（-x，-y，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{P{B}_{1}}$=（-x，-y，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-3$\sqrt{2}$，0，0），
∵|$\overrightarrow{PD}$|+|$\overrightarrow{P{D}_{1}}$|=2+$\sqrt{13}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+12}+\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+3}$=2+$\sqrt{13}$，∴|$\overrightarrow{P{B}_{1}}$|=2，即x²+y²=1，
記α為直線B₁P與直線BC₁所成角，則α即為直線B₁P與AD₁所成角，
∴cos＜$\overrightarrow{P{B}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{P{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{P{B}_{1}}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{3\sqrt{2}x}{2×3\sqrt{2}}$=$\frac{x}{2}$，
∵點(diǎn)P的軌跡在平面A₁BC₁內(nèi)是以O(shè)為圓心，1為半徑的單位圓，
∴-1≤x≤1，∴-$\frac{1}{2}≤cos＜\overrightarrow{P{B}_{1}}，\overrightarrow{B{C}_{1}}＞≤\frac{1}{2}$，
又∵α為銳角，∴0$≤cos＜\overrightarrow{P{B}_{1}}，\overrightarrow{B{C}_{1}}＞≤\frac{1}{2}$．
∴直線B₁P與直線AD₁所成角余弦值的取值范圍是[0，$\frac{1}{2}$]．
故答案為：[0，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查線線角的余弦值的以值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．