Question

6．已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
（1）若b是a與c的等比中項(xiàng)，求B的取值范圍；
（2）若B=$\frac{π}{3}$，求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）b是a與c的等比中項(xiàng)，可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，即可得出B的取值范圍．
（2）sinA+sinC=sinA+$sin（\frac{2π}{3}-C）$=$\sqrt{3}$$sin（A+\frac{π}{6}）$，由于$0＜A＜\frac{2π}{3}$，可得$\frac{1}{2}＜sin（A+\frac{π}{6}）$≤1．即可得出．

解答 解：（1）∵b是a與c的等比中項(xiàng)，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，$\frac{1}{2}$≤cosB＜1，
又0＜B＜π，∴B的取值范圍是$（0，\frac{π}{3}]$．
（2）sinA+sinC=sinA+$sin（\frac{2π}{3}-A）$=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=$\sqrt{3}$$sin（A+\frac{π}{6}）$，
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，∴$\frac{1}{2}＜sin（A+\frac{π}{6}）$≤1．
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\sqrt{3}$$sin（A+\frac{π}{6}）$$≤\sqrt{3}$．
故sinA+sinC的取值范圍是$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、和差公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．