【題目】如圖,橢圓的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.不過原點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn),且線段被直線平分.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的面積取最大值時直線的方程.
【答案】(1)橢圓的方程為;(2)直線的方程為.
【解析】試題分析:(1)由題意得到離心率,再結(jié)合距離公式即可得: , 所求橢圓的方程為: .(2)易得直線的方程: ,用點(diǎn)差法得到,設(shè)直線的方程為: ,與橢圓方程聯(lián)立得,由得到的取值范圍;由弦長公式,點(diǎn)到直線的距離表示出面積,即可求出直線的方程.
試題解析:(1)由題: ;
左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為: .
由可解得: .
所求橢圓的方程為: .
(2)易得直線的方程: ,設(shè).其中.
、在橢圓上,
.
設(shè)直線的方程為: ,
代入橢圓: .
顯然.
且.
由上又有: .
.
點(diǎn)到直線的距離為: .
,
當(dāng)且僅當(dāng)時,三角形的面積最大,此時直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是.
(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn).若點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相交于兩點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,側(cè)棱長分別為1, ,2,且它的四個頂點(diǎn)在同一球面上,則此球的體積為( )
A.
B.
C.
D.8π
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為選拔選手參加“中國謎語大會”,某中學(xué)舉行了一次“謎語大賽”活動,為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本,(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計.按照,,,,的分組作出如下頻率分布直方圖.
(1)由如下莖葉圖(圖中僅列出了得分在,的數(shù)據(jù))提供的信息,求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值;
(2)在選取的樣本中,從競賽成績在80分以上(含80分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加“中國謎語大會”,求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在內(nèi)的概率.
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【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù).當(dāng)時,若區(qū)間上存在,使得,求實數(shù)的取值范圍.(為自然對數(shù)底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某個體戶計劃經(jīng)銷A、B兩種商品,據(jù)調(diào)查統(tǒng)計,當(dāng)投資額為x(x≥0)萬元時,在經(jīng)銷A、B商品中所獲得的收益分別為f(x)萬元與g(x)萬元、其中f(x)=a(x﹣1)+2(a>0);g(x)=6ln(x+b),(b>0)已知投資額為零時,收益為零.
(1)試求出a、b的值;
(2)如果該個體戶準(zhǔn)備投入5萬元經(jīng)營這兩種商品,請你幫他制定一個資金投入方案,使他能獲得最大收益,并求出其收入的最大值.(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):ln3≈1.10).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)a≥0,f(x)=x﹣1﹣ln2x+2alnx(x>0).
(1)令F(x)=xf′(x),討論F(x)在(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性并求極值;
(2)求證:當(dāng)x>1時,恒有x>ln2x﹣2alnx+1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,銳角△ABC中, = , = ,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn). (Ⅰ)試用 , 表示 ;
(Ⅱ)若| |=5,| |=3,sin∠BAC= ,求中線AM的長.
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