Question

15．已知f（x）=$\frac{x-a}{{{x^2}+1}}$是奇函數(shù)，g（x）=x²+bx+1為偶函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）對任意x∈R不等式2f（x）g（x）＜g（x）-m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)建立方程關(guān)系進行求解即可．
（2）求出函數(shù)f（x），g（x）的表達式，將不等式進行化簡，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{x-a}{{{x^2}+1}}$是奇函數(shù)，且函數(shù)的定義域為R，
∴f（0）=0，即f（0）=-a=0，
∴a=0
又g（x）=x²+bx+1是偶函數(shù)，
∴g（-x）=g（x），
即x²-bx+1=x²+bx+1，
則-b=b，∴b=0．
則a=0，b=0．
（2）由（1）知$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}，g（x）={x^2}+1$．
由2f（x）g（x）＜g（x）-m
得$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$•（x²+1）＜x²+1-m，
即2x＜x²+1-m，
則m＜x²-2x+1對任意x∈R恒成立，
又x²-2x+1=（x-1）²≥0．
∴m＜0．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出a，b的值，以及函數(shù)f（x）和g（x）的表達式，利用參數(shù)分離法進行求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．