Question

12．設(shè)a＞0且a≠1，若log_a2＜log₂a，則a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象，需要對a進行分類討論，當(dāng)0＜a＜1和a＞1時，解不等式即可．

解答 解：log_a2=$\frac{1}{lo{g}_{2}a}$＜log₂a，
當(dāng)0＜a＜1時，log₂a＜0，
∴（log₂a）²＜1，
即（log₂a-1）（log₂a+1）＜0，
∴l(xiāng)og₂a+1＞0，
∴l(xiāng)og₂a＞-1=log₂$\frac{1}{2}$，
∴a＞$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$＜a＜1；
當(dāng)a＞1時，log₂a＞0，
∴（log₂a）²＞1，
即（log₂a-1）（log₂a+1）＞0，
∴l(xiāng)og₂a-1＞0，
∴l(xiāng)og₂a＞1=log₂2
∴a＞2，
綜上所述：a的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，1）∪（2，+∞），
故答案為：（$\frac{1}{2}$，1）∪（2，+∞）．

點評 本本題考查了對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)，以及分類討論的思想，屬于中檔題．