Question

已知函數(shù)f（x）=

-2x+a

2x+1

是定義域R上的奇函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）求a的值；     
（2）證明f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）若不等式f(logm

3

4

)+f(-1)＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接利用函數(shù)是奇函數(shù)，f（0）=0，即可求a的值；     
（2）直接利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）通過函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的是奇函數(shù)，轉(zhuǎn)化不等式f(logm

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4

)+f(-1)＞0推出對(duì)數(shù)不等式，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： （1）解：由題意f（0）=0，即a=1．
（2）證明：設(shè)x₁，x₂是R上任意兩不等的實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，則△x=x₂-x₁＞0，f(x)=

2

2x+1

-1△y=f（x₂）-f（x₁）=

2

2x+1

-

2

2x+1

=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2
于是△y＜0，所以函數(shù)在R上是減函數(shù)．
（3）f（x）是奇函數(shù)，所以不等式轉(zhuǎn)化為f(logm

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4

)＞f(1)，
又f（x）是R上的減函數(shù)，
所以

0＜m＜1 logm 3 4 ＜1

，
解得0＜m＜

3

4

；或

m＞1 logm 3 4 ＜1

，
解得m＞1；
綜上所述m的范圍是(0，

3

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)∪(1，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想．