Question

17．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂，點(diǎn)P在橢圓上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=$\frac{4}{3}$，|PF₂|=$\frac{14}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為M（-2，1），求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （I）利用橢圓的定義、勾股定理及其a²=b²+c²即可得出；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\frac{{x}_{1}^{2}}{9}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{9}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1$，兩式相減再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式，即可得出．

解答 解：（I）∵PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=$\frac{4}{3}$，|PF₂|=$\frac{14}{3}$，
∴2c=$\sqrt{（\frac{14}{3}）^{2}-（\frac{4}{3}）^{2}}$，2a=$\frac{4}{3}+\frac{14}{3}$，聯(lián)立解得a=3，c=$\sqrt{5}$，
∴b²=a²-c²=4．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\frac{{x}_{1}^{2}}{9}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{9}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1$，兩式相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{9}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0，
∵$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-2，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k_l，∴$\frac{-4}{9}+2×\frac{{k}_{l}}{4}$=0，解得k_l=$\frac{8}{9}$．
∴直線(xiàn)l的方程為$y-1=\frac{8}{9}（x+2）$，化為8x-9y+25=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、勾股定理、“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．