Question

16．若正△ABC的邊長為a，其內(nèi)一點(diǎn)P到三邊距離分別為x，y，z，則S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC=S_△ABC，于是$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay+$\frac{1}{2}$az=S_△ABC，x+y+z=$\frac{2{S}_{△ABC}}{a}$．類比推理，求解下面的問題．正四面體棱長為2，其內(nèi)一點(diǎn)M到各個(gè)面的距離分別為d₁，d₂，d₃，d₄，則d₁+d₂+d₃+d₄的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進(jìn)行類比時(shí)，可以結(jié)合由平面圖形中點(diǎn)的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)．

解答 解：類比在正三角形ABC內(nèi)部（不包括邊界）任取一點(diǎn)P，P點(diǎn)到三邊的距離分別為h₁，h₂，h₃，則h₁+h₂+h₃為定值，可得：
P是棱長為a的空間正四面體ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，則P點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和h₁+h₂+h₃+h₄為定值，
如圖：連接PA，PB，PC，PD，則三棱錐P-ABC，P-ABD，P-ACD，P-BCD的體積分別為：V₁，V₂，V₃，V₄，
由棱長為a可以得到BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，BE=$\frac{2}{3}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
在直角三角形ABE中，根據(jù)勾股定理可以得到
AE²=AB²-BE²，即AE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，即h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，（其中h為正四面體A-BCD的高），
故正四面體的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$，
正四面體的四個(gè)面△ABC，△ACD，△ABD，△BCD的面積均為 $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$
則V=V₁+V₂+V₃+V₄=$\frac{1}{3}$（h₁+h₂+h₃+h₄） $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$
解得：h₁+h₂+h₃+h₄=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴即P是棱長為a的空間正四面體ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，則P點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和h₁+h₂+h₃+h₄為定值 $\frac{\sqrt{6}}{3}$a．
又正四面體棱長為2，即a=2，
∴定值為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，考查學(xué)生的推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．