Question

17．（1）若|x-a|+|2x-1|≤|2x+1|（a∈R）的解集包含集合[$\frac{1}{2}$，1]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）已知a＞0，b＞0，求證：a²b²+a²+b²≥ab（a+b+1）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=|x-a|+|2x-1|，由題意可得當(dāng)$x∈[\frac{1}{2}，1]$時(shí)，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，化簡(jiǎn)可得x-2≤a≤x+2在$x∈[\frac{1}{2}，1]$上恒成立，可得（x-2）_max≤a≤（x+2）_min，求得最值，即可得到a的范圍；
（2）運(yùn)用基本不等式，可得a²b²+a²≥2a²b，a²b²+b²≥2ab²，a²+b²≥2ab，累加即可得證．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=|x-a|+|2x-1|，
即有f（x）≤|2x+1|的解集包含$[\frac{1}{2}，1]$，
當(dāng)$x∈[\frac{1}{2}，1]$時(shí)，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，
即|x-a|+|2x-1|≤|2x+1|在$x∈[\frac{1}{2}，1]$上恒成立，
可得|x-a|+2x-1≤2x+1，
即|x-a|≤2，即-2≤x-a≤2，
即x-2≤a≤x+2在$x∈[\frac{1}{2}，1]$上恒成立，
可得（x-2）_max≤a≤（x+2）_min，
即有$-1≤a≤\frac{5}{2}$，
則a的取值范圍是$[-1，\frac{5}{2}]$；                                   
證明：（2）由均值不等式可得：$\left\{\begin{array}{l}{a^2}{b^2}+{a^2}≥2{a^2}b\\{a^2}{b^2}+{b^2}≥2a{b^2}\\{a^2}+{b^2}≥2ab\end{array}\right.$，
三式相加：2（a²b²+a²+b²）≥2（a²b+ab²+ab），
即a²b²+a²+b²≥a²b+ab²+ab=ab（a+b+1），
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1，取得等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法和證明，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和基本不等式，考查化簡(jiǎn)整理和推理能力，屬于中檔題．