Question

6．直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長均為2，∠BAD=60°，則平面A₁DC₁與平面ABCD所成角的大小為arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 題目是求二面角的正弦值問題，根據(jù)給出的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，且底面為菱形這兩個條件，連接底面菱形的對角線相交于一點O，再連接DO后即可得到要求的二面角的平面角，然后結(jié)合題目給出的角的大小及棱的長度，在直角三角形中可求得平面A₁DC₁與平面ABCD所成角的正弦值．

解答 解：如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵側(cè)棱與底面垂直，
∴D₁D⊥面ABCD，
∵AC?面A₁B₁C₁D₁，
∴D₁D⊥A₁C₁．
連接A₁C₁、B₁D₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O，連接DO，
∵A₁B₁C₁D₁是菱形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵D₁D⊥A₁C₁，又B₁D₁∩D₁D=D₁，
∴A₁C₁⊥面B₁B₁D，
∵DB₁?面B₁B₁D，
∴A₁C₁⊥DB₁．
∴∠D₁OD為二面角D₁-A₁C₁-D的平面角，
∵面A₁B₁C₁D₁∥面ABCD，
亦即為平面A₁DC₁與平面ABCD所成的角．
∵底面A₁B₁C₁D₁是菱形，且∠B₁A₁D₁=60°，
∴∠BAO=30°，
在直角三角形AOB中，∵∠BAO=30°，AB=2，
∴D₁O=1．
再在直角三角形ODD₁中，∵D₁O=1，DD₁=2，
∴OD=$\sqrt{5}$．
∴sin∠D₁OD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴平面A₁DC₁與平面ABCD所成角的大小為arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了空間中線面垂直的判定和性質(zhì)，考查了二面角的平面角的找法，本題因給出的幾何體具有較好的對稱性，所以尋找二面角的平面角相對容易，如果二面角的平面角不易尋找時，涉及二面角的平面角問題可以借助于空間向量來處理，把二面角轉(zhuǎn)化為平面法向量所成角的問題，此題屬中檔題．