Question

1．已知a為實數(shù)，x=1是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-6x+alnx的一個極值點．若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2m-1，m+1）上單調遞減，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的導數(shù)的極值求出a，然后求解單調減區(qū)間，列出不等式組即可得到結果．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-6x+alnx，
可得f′（x）=x-6+$\frac{a}{x}$，
x=1是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-6x+alnx的一個極值點，
可得：1-6+a=0，解得a=5．
函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-6x+5lnx，
f′（x）=x-6+$\frac{5}{x}$=0，可得x=1或x=5，
x∈（1，5）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-6x+5lnx是減函數(shù)，
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（2m-1，m+1）上單調遞減，
所以$\left\{\begin{array}{l}{1≤2m-1}\\{m+1≤5}\end{array}\right.$，
解得：m∈[1，4]

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調性的判斷，考查分析問題解決問題的能力．