【題目】如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為1，求：

（1）直線與直線所成角的余弦值；

（2）平面與平面所成二面角的正弦值．

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）以 {，，} 為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，利用向量法能求出直線A1C與直線AD1所成角的余弦值；

（2）求出平面D1AC的一個(gè)法向量和平面ABB1A1的一個(gè)法向量，利用向量法能求出平面D1AC與平面ABB1A1所成二面角的正弦值．

(1)如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為1，

故以 為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系．

則，，，

， ．

（1）因?yàn)? ，

，

所以，

，，

從而．

又異面直線所成的角的范圍是，

所以直線與直線所成角的余弦值為．

（2），，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則從而即

取，可得，，即．

在正四棱柱中，平面，

又，

所以為平面的一個(gè)法向量．

因?yàn)?/span>，且，，

所以．

因此平面與平面所成二面角的正弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求證： 平面；

（2）若,求四面體的體積．

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【題目】如圖，直角梯形中， ， ， ， ， 底面， 底面且有.

（1）求證： ；

（2）若線段的中點(diǎn)為，求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】設(shè)函數(shù)（是常數(shù)）.

（1）證明：是奇函數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：在區(qū)間上單調(diào)遞增；

（3）若，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)．

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（Ⅱ）若，求證： ；

（Ⅲ）當(dāng)函數(shù)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．

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【題目】“雙十二”是繼“雙十一”之后的又一個(gè)網(wǎng)購(gòu)狂歡節(jié)，為了刺激“雙十二”的消費(fèi)，某電子商務(wù)公司決定對(duì)“雙十一”的網(wǎng)購(gòu)者發(fā)放電子優(yōu)惠券.為此，公司從“雙十一”的網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)者中用隨機(jī)抽樣的方法抽取了100人，將其購(gòu)物金額（單位：萬(wàn)元）按照， 分組，得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)調(diào)查，該電子商務(wù)公司制定了發(fā)放電子優(yōu)惠券的辦法如下：

（Ⅰ）求購(gòu)物者獲得電子優(yōu)惠券金額的平均數(shù)；

（Ⅱ）從這100名購(gòu)物金額不少于0.8萬(wàn)元的人中任取2人，求這兩人的購(gòu)物金額在0.8～0.9萬(wàn)元的概率.

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【題目】某家電公司根據(jù)銷(xiāo)售區(qū)域?qū)N(xiāo)售員分成，兩組.年年初，公司根據(jù)銷(xiāo)售員的銷(xiāo)售業(yè)績(jī)分發(fā)年終獎(jiǎng)，銷(xiāo)售員的銷(xiāo)售額（單位：十萬(wàn)元）在區(qū)間，，，內(nèi)對(duì)應(yīng)的年終獎(jiǎng)分別為2萬(wàn)元，2.5萬(wàn)元，3萬(wàn)元，3.5萬(wàn)元.已知銷(xiāo)售員的年銷(xiāo)售額都在區(qū)間內(nèi)，將這些數(shù)據(jù)分成4組：，，，，得到如下兩個(gè)頻率分布直方圖：

以上面數(shù)據(jù)的頻率作為概率，分別從組與組的銷(xiāo)售員中隨機(jī)選取1位，記，分別表示組與組被選取的銷(xiāo)售員獲得的年終獎(jiǎng).

（1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）試問(wèn)組與組哪個(gè)組銷(xiāo)售員獲得的年終獎(jiǎng)的平均值更高？為什么？

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（1）求；

（2）求證：在上為增函數(shù)；

（3）若，且關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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