Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為 F₁、F₂，P是右支上一點(diǎn)，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，|OH|=λ|OF₁|．
（1）當(dāng)λ=$\frac{1}{3}$時(shí)，求雙曲線的漸近線方程；
（2）求λ的取值范圍；
（3）若λ∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$]，求$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用雙曲線的定義，結(jié)合條件可得|PF₂|=$\frac{^{2}}{a}$，求得|PF₁|，由三角形的相似可得λ=$\frac{OH}{O{F}_{1}}$=$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$，代入λ=$\frac{1}{3}$，可得a=b，進(jìn)而得到漸近線方程；
（2）運(yùn)用（1）的結(jié)論$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2λ}{1-λ}$＞0，可得范圍；
（3）運(yùn)用（1）的結(jié)論可得$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{1}{λ}$，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由雙曲線的定義可得|PF₁-|PF₂|=2a，
又PF₂⊥F₁F₂，可得|PF₂|=$\frac{^{2}}{a}$，
即有|PF₁|=$\frac{2{a}^{2}+^{2}}{a}$，
由λ=$\frac{OH}{O{F}_{1}}$=$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{^{2}}{2{a}^{2}+^{2}}$，
可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2λ}{1-λ}$，
當(dāng)λ=$\frac{1}{3}$時(shí)，$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=1，即有a=b，
雙曲線的漸近線方程為y=±x；
（2）由（1）可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2λ}{1-λ}$＞0，
解得0＜λ＜1；
（3）由（1）可知，$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{1}{λ}$，
由λ∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$]，則$\frac{1}{λ}$∈[2，8]．
$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的取值范圍為[2，8]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法和不等式的性質(zhì)，以及解法，屬于中檔題．