【題目】已知拋物線:上的點到焦點的距離最小值為1.
(1)求的值;
(2)若點在曲線:上,且在曲線上存在三點,,,使得四邊形為平行四邊形.求平行四邊形的面積的最小值.
【答案】(1)(2)最小值為.
【解析】
(1)由拋物線定義,結合拋物線的幾何性質可知到準線的距離為最小值,即可求得的值;
(2)方法一:設出直線的方程,并討論斜率是否存在.聯立直線與拋物線方程,結合韋達定理表示出中點的坐標.將點代入曲線可得.根據平行四邊形性質可知,關于點對稱,即可表示出B點坐標,可得方程.利用三角形面積公式表示出平行四邊形的面積,根據等量關系即可求得面積的最小值.
方法二: 設,,表示出直線的方程,由點在曲線上,可得.由,關于點對稱,可得B點坐標,將B的坐標代入拋物線方程,可得的等量關系.根據三角形面積公式表示出平行四邊形的面積,進而由不等式關系即可求得最小值.
(1)根據拋物線的定義可知,拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離
拋物線上的點到焦點的距離最小值為1
即到準線的距離為1
即,所以
(2)方法一:設直線:,
當不存在時,此時直線為豎直線,與拋物線只有一個交點,故舍去.
設,
聯立方程,得
,.
故線段中點
而點在曲線:上
故
若要滿足四邊形為平行四邊形,則,關于點對稱.則.又點在拋物線上,
故滿足方程,即①
,
代入①得:,
所以
所以平行四邊形的面積的最小值為.
方法二:設,,
直線:,點在曲線:上,
故.線段中點,若要滿足四邊形為平行四邊形,
則,關于點對稱,則.又點在拋物線上
故滿足方程,即①
.
所以平行四邊形的面積的最小值為.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點為別為F1、F2,且過點和.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)如圖,點A為橢圓上一位于x軸上方的動點,AF2的延長線與橢圓交于點B,AO的延長線與橢圓交于點C,求△ABC面積的最大值,并寫出取到最大值時直線BC的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】科研人員在對人體脂肪含量和年齡之間關系的研究中,獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數據,如下表:
(年齡/歲) | 26 | 27 | 39 | 41 | 49 | 53 | 56 | 58 | 60 | 61 |
(脂肪含量/%) | 14.5 | 17.8 | 21.2 | 25.9 | 26.3 | 29.6 | 31.4 | 33.5 | 35.2 | 34.6 |
根據上表的數據得到如下的散點圖.
(1)根據上表中的樣本數據及其散點圖:
(i)求;
(i)計算樣本相關系數(精確到0.01),并刻畫它們的相關程度.
(2)若關于的線性回歸方程為,求的值(精確到0.01),并根據回歸方程估計年齡為50歲時人體的脂肪含量.
附:參考數據:,,,,,,
參考公式:相關系數
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.
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【題目】在平面直角坐標系中,動點分別與兩個定點,的連線的斜率之積為.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設過點的直線與軌跡交于,兩點,判斷直線與以線段為直徑的圓的位置關系,并說明理由.
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【題目】2017年5月,來自“一帶一路”沿線的20國青年評選出了中國的“新四大發(fā)明”:高鐵、掃碼支付、共享單車和網購.乘坐高鐵可以網絡購票,為了研究網絡購票人群的年齡分布情況,在5月31日重慶到成都高鐵9600名網絡購票的乘客中隨機抽取了120人進行了統計并記錄,按年齡段將數據分成6組:,得到如圖所示的直方圖:
(1)若從總體的9600名網絡購票乘客中隨機抽取一人,估計其年齡大于35歲的概率;
(2)試估計總體中年齡在區(qū)間內的人數;
(3)試通過直方圖,估計5月31日當天網絡購票的9600名乘客年齡的中位數.
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【題目】某農戶計劃種植萵筍和西紅柿,種植面積不超過畝,投入資金不超過萬元,假設種植萵筍和西紅柿的產量、成本和售價如下表:
年產量/畝 | 年種植成本/畝 | 每噸售價 | |
萵筍 | 5噸 | 1萬元 | 0.5萬元 |
西紅柿 | 4.5噸 | 0.5萬元 | 0.4萬元 |
那么,該農戶一年種植總利潤(總利潤=總銷售收入-總種植成本)的最大值為____萬元
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【題目】為發(fā)展業(yè)務,某調研組對,兩個公司的產品需求量進行調研,準備從國內個人口超過萬的超大城市和()個人口低于萬的小城市隨機抽取若干個進行統計,若一次抽取個城市,全是小城市的概率為.
(1)求的值;
(2)若一次抽取個城市,則:①假設取出小城市的個數為,求的分布列和期望;
②若取出的個城市是同一類城市,求全為超大城市的概率.
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