Question

【題目】設(shè)，函數(shù).

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若無零點，求a的取值范圍；

（3）若有兩個相異零點、，求證：.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)見證明

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，再根據(jù)點斜式得結(jié)果，（2）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點討論函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最大值，最后根據(jù)最大值小于零得結(jié)果.（3）根據(jù)零點解得，化簡欲證不等式，再令，構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證不等式.

解：（1）當(dāng)時，，所以.

，

則切線方程為，即

（2）①當(dāng)時，有唯一零點；

②當(dāng)時，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，

因為，，

所以，即函數(shù)在區(qū)間有唯一零點；

③當(dāng)時，令得，

所以，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；

且；

當(dāng)時，，函數(shù)是在上是減函數(shù)，

且；

所以在區(qū)間上，函數(shù)的極大值為，

由，即，解得，

故所求實數(shù)的取值范圍是.

（3）設(shè)，由，，可得，，. 所以

要證，只需證,

即證，即.

令，于是，

設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)得，

所以函數(shù)是上的增函數(shù)，

所以，即不等式成立，

故所證不等式成立.