【題目】已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn), 且圓心在直線.

(1)求圓的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn),問(wèn)在直線上是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) (x-3)2+(y-2)2=13 (2) 在直線上存在定點(diǎn)N(),使得

【解析】試題分析:(1)由題意得到直線AB的方程,直線AB與直線的交點(diǎn)即圓心,從而得到圓的方程;

2假設(shè)存在點(diǎn)N(t,2)符合題意, ,設(shè)直線AB方程為,與圓的方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理表示即可得到t值.

試題解析:

(1)法一:直線AB的斜率為-1,所以AB的垂直平分線m的斜率為1

AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(),因此直線m的方程為x-y-1=0

又圓心在直線l上,所以圓心是直線m與直線l的交點(diǎn).

聯(lián)立方程租,得圓心坐標(biāo)為C(3,2)又半徑r=,

所以圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=13

法二:設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2

由題意得

解得a=3,b=2,r=

所以圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=13

(2)假設(shè)存在點(diǎn)N(t,2)符合題意,

當(dāng)直線AB斜率存在時(shí),設(shè)直線AB方程為

聯(lián)立方程組

,

消去y,得到方程

則由根與系數(shù)的關(guān)系得+

因?yàn)?/span>

所以

所以+

解得t=,即N點(diǎn)坐標(biāo)為()

當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),點(diǎn)N顯然滿足題意.

綜上在直線上存在定點(diǎn)N(),使得

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