Question

7．已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-x²，若對(duì)?p，q∈（0，1），且p≠q，有$\frac{{f（{p+1}）-f（{q+1}）}}{p-q}＞2$恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，18）
• B． （-∞，18]
• C． [18，+∞）
• D． （18，+∞）

Answer 1

分析 $\frac{{f（{p+1}）-f（{q+1}）}}{p-q}＞2$恒成立$?\frac{{f（{p+1}）-f（{q+1}）}}{{（{p+1}）-（{q+1}）}}＞2$恒成立?'f（x+1）≥2恒成立，即$\frac{a}{x+2}-2（{x+1}）≥2（{0＜x＜1}）$恒成立，分離參數(shù)，求最值，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：因?yàn)閒（x）=aln（x+1）-x²，所以f（x+1）=aln[（x+1）+1]-（x+1）²，
所以$f'（{x+1}）=\frac{a}{x+2}-2（{x+1}）$．
因?yàn)閜，q∈（0，1），且p≠q，所以$\frac{{f（{p+1}）-f（{q+1}）}}{p-q}＞2$恒成立$?\frac{{f（{p+1}）-f（{q+1}）}}{{（{p+1}）-（{q+1}）}}＞2$恒成立
?'f（x+1）≥2恒成立，即$\frac{a}{x+2}-2（{x+1}）≥2（{0＜x＜1}）$恒成立，
所以a＞2（x+2）²（0＜x＜1）恒成立，
又因?yàn)閤∈（0，1）時(shí)，8＜2（x+2）²＜18，所以a≥18．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．