Question

7．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是同一平面內的兩個向量，其中$\overrightarrow{a}$=（1，-2），|$\overrightarrow$|=2$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求向量$\overrightarrow$的坐標；
（Ⅱ）若（2$\overline{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=-20，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可設$\overrightarrow=（x，y）$，這樣根據(jù)條件即可建立關于x，y的方程組，解該方程組即可求出，x，y，從而得出向量$\overrightarrow$的坐標；
（Ⅱ）根據(jù)條件便可得出$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}$，且$|\overrightarrow|=2\sqrt{5}$，這樣進行向量數(shù)量積的運算便可由$（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）=-20$得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值，進而求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的值，從而求出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

解答 解：（Ⅰ）設$\overrightarrow=（x，y）$，根據(jù)條件，則：
$\left\{\begin{array}{l}{1•y-（-2）•x=0}\\{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=2\sqrt{5}}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-4}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow=（-2，4）$，或（2，-4）；
（Ⅱ）${\overrightarrow{a}}^{2}=5，{\overrightarrow}^{2}=20$；
∴$（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$=$4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow-3{\overrightarrow}^{2}$=$20-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow-60=-20$；
解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-5$；
∴$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\sqrt{5}•2\sqrt{5}cos$$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$10cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-5$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{2π}{3}$．

點評 考查根據(jù)向量坐標求向量長度的公式，向量平行時的坐標關系，向量數(shù)量積的運算及計算公式，向量夾角的范圍．