Question

6．過拋物線y=x²的焦點F作直線交拋物線于P，Q，若線段PF與QF的長度分別為m，n，則2m+n的最小值為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 設PQ的斜率k=0，因拋物線焦點坐標為（0，$\frac{1}{4}$），把直線方程y=$\frac{1}{4}$代入拋物線方程得m，n的值，可得$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=4，利用“1”的代換，即可得到答案．

解答 解：拋物線y=4x²的焦點F為（0，$\frac{1}{4}$），
設PQ的斜率k=0，
∴直線PQ的方程為y=$\frac{1}{4}$，
代入拋物線y=x²得：x=±$\frac{1}{2}$，
即m=n=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=4，
∴2m+n=$\frac{1}{4}$（2m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{4}$（3+$\frac{2m}{n}$+$\frac{n}{m}$）≥$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$
故選：C．

點評 本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應用，設k=0，求出m，n是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．