Question

4．已知兩條直線l₁：y=m和l₂：y=$\frac{9}{m}$（m＞0），l₁與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于點A，B，l₂與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于C，D．記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b，當m變化時，$\frac{a}$的最小值為（　�。�

• A． 32
• B． $\frac{1}{64}$
• C． 64
• D． $\frac{1}{64}$

Answer 1

分析 由題意設A，B，C，D各點的橫坐標分別為x_A，x_B，x_C，x_D，依題意可求得為x_A，x_B，x_C，x_D的值，a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，下面利用基本不等式可求最小值

解答 解：設A，B，C，D各點的橫坐標分別為x_A，x_B，x_C，x_D，
則-log₂x_A=m，log₂x_B=m；-log₂x_C=$\frac{9}{m}$，log₂x_D=$\frac{9}{m}$；
∴x_A=2^-m，x_B=2^m，x_C=${2}^{-\frac{9}{m}}$，x_D=${2}^{\frac{9}{m}}$．
∴a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，
∴$\frac{a}$=$\frac{{2}^{m}-{2}^{\frac{9}{m}}}{{2}^{-m}-{2}^{-\frac{9}{m}}}$=2^m•=${2}^{\frac{9}{m}}$=2${\;}^{m+\frac{9}{m}}$
又m＞0，∴m+$\frac{9}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{9}{m}}$=6，當且僅當m=3時取“=”號，
∴$\frac{a}$≥2⁶=64，
∴$\frac{a}$的最小值為64．
故選：C．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用，理解投影的概念并能把問題轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值是解決問題的關鍵，屬中檔題．