Question

10．當x＞$\frac{3}{2}$時，求函數y=2x+$\frac{8}{2x-3}$的最小值為4$\sqrt{2}$+3．

Answer 1

分析 根據題意，將函數的解析式變形可得y=2x+$\frac{8}{2x-3}$=（2x-3）+$\frac{8}{2x-3}$+3，由基本不等式的性質分析可得當x＞$\frac{3}{2}$時，（2x-3）+$\frac{8}{2x-3}$≥2$\sqrt{8}$=4$\sqrt{2}$，進而分析可得函數的最小值，即可得答案．

解答 解：根據題意，函數y=2x+$\frac{8}{2x-3}$=（2x-3）+$\frac{8}{2x-3}$+3，
當x＞$\frac{3}{2}$時，即2x-3＞0時，（2x-3）+$\frac{8}{2x-3}$≥2$\sqrt{8}$=4$\sqrt{2}$，
則有y=2x+$\frac{8}{2x-3}$=（2x-3）+$\frac{8}{2x-3}$+3≥4$\sqrt{2}$+3，
即當x＞$\frac{3}{2}$時，求函數y=2x+$\frac{8}{2x-3}$的最小值為4$\sqrt{2}$+3，
故答案為：4$\sqrt{2}$+3．

點評 本題考查函數的最值的求法，涉及基本不等式的性質的運用，關鍵是正確運用基本不等式的形式．