Question

12．在等比數(shù)列{a_n}中，公比q＞1，a₂=2，前三項(xiàng)和S₃=7．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=log₂a_n，c_n=$\frac{1}{_{n+1}•_{n+2}}$，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）q＞1，時(shí)，a₂=a₁q=2；${S_3}={a_1}（1+q+{q^2}）=7$，
聯(lián)立解得$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ q=2\end{array}\right.\end{array}$，
∴${a_n}={2^{n-1}}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中，${a_n}={2^{n-1}}$，
∴${b_n}={log_2}{a_n}={log_2}{2^{n-1}}=n-1$，
${c_n}=\frac{1}{{{b_{n+1}}•{b_{n+2}}}}=\frac{1}{n•（n+1）}=（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴${T_n}={c_1}+{c_2}+…+{c_n}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．