Question

18．已知函數(shù)f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）（其中x₁＜x₂＜x₃），g（x）=3x+sin（2x+1），且函數(shù)f（x）的兩個極值點為α，β（α＜β）．設λ=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，μ=$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}$，則（　　）

• A． g（a）＜g（λ）＜g（β）＜g（μ）
• B． g（λ）＜g（a）＜g（β）＜g（μ）
• C． g（λ）＜g（a）＜g（μ）＜g（β）
• D． g（a）＜g（λ）＜g（μ）＜g（β）

Answer 1

分析 化簡f（x），求函數(shù)g（x）的導數(shù)，判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，結合一元二次函數(shù)的性質(zhì)判斷α＜λ＜μ＜β，結合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行判斷即可．

解答 解：由f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）可得f（x）=x³-（x₁+x₂+x₃）x²+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）x-x₁x₂x₃，
∴f′（x）=3x²-2（x₁+x₂+x₃）x+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）=0，
∵△=4（x₁+x₂+x₃）²-12（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）=2[（x₁-x₂）²+（x₂-x₃）²+（x₃-x₁）²]，
∵x₁＜x₂＜x₃．∴△＞0，∴方程f′（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根；
g′（x）=3+2cos（2x+1）＞0，
則g（x）為增函數(shù)，
下面證明α＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＜β，
由f′（x）=3x²-2（x₁+x₂+x₃）x+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）=0可得
f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{4}$-（x₁+x₂+x₃）（x₁+x₂）+x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃-x₁x₂=-$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{4}$＜0
即f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=3（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-α）（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-β）＜0，
由α＜β可得α＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＜β，
同理可知α＜$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}$＜β，
∵$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＜$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}$，
∴α＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＜$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}$＜β，
即α＜λ＜μ＜β，
∵g（x）為增函數(shù)，∴g（a）＜g（λ）＜g（μ）＜g（β），
故選：D

點評 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及α＜λ＜μ＜β是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．