Question

6．（1）已知a，b，m，n均為正數(shù)，且$\frac{a}＜\frac{m}{n}＜1$，比較$\frac{am}{bn}$與$\frac{a+m}{b+n}$的大小．
（2）已知a＞0，b＞0且a≠b，比較a^ab^b與$（ab）^{\frac{a+b}{2}}$的大小．

Answer 1

分析 （1）利用作差法比較大�。�
（2）利用作商法比較大小．

解答 解：（1）$\frac{am}{bn}$-$\frac{a+m}{b+n}$=$\frac{1}{bn（b+n）}$（abm+amn-abn-bmn）
=$\frac{1}{bn（b+n）}$[ab（m-n）+mn（a-b）]，
∵a，b，m，n均為正數(shù)，且$\frac{a}＜\frac{m}{n}＜1$，
∴a＜b，m＜n，∴a-b＜0，m-n＜0，
∴$\frac{am}{bn}$-$\frac{a+m}{b+n}$＜0，∴$\frac{am}{bn}$＜$\frac{a+m}{b+n}$．
（2）∵a＞0，b＞0且a≠b，
∴$\frac{{a}^{a}^}{（ab）^{\frac{a+b}{2}}}$=${a}^{\frac{a-b}{2}}$$^{\frac{b-a}{2}}$=$（\frac{a}）^{\frac{a-b}{2}}$，
當(dāng) a＞b＞0時(shí)，$\frac{a}$＞1，$\frac{a-b}{2}$＞0，$（\frac{a}）^{\frac{a-b}{2}}$＞1，
此時(shí)a^ab^b＞（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$；
當(dāng) b＞a＞0時(shí)，$\frac{a}$＜1，$\frac{a-b}{2}$＜0，$（\frac{a}）^{\frac{a-b}{2}}$＞1，
此時(shí)a^ab^b＞（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$
∴a^ab^b＞（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩個(gè)數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意作差法、作商法的合理運(yùn)用．