Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x-2|
（1）求證：f（m）+f（n）≥|m-n|
（2）若不等式f（2x）+f（-x）≥a 恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（m）+f（n）=|m-2|+|n-2|≥|（m-2）-（n-2）|=|m-n|，由此能證明f（m）+f（n）≥|m-n|．
（2）設(shè)g（x）=f（2x）+f（-x），則g（x）=2|x-1|+|x-2|，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 證明：（1）∵函數(shù)f（x）=|x-2|
∴f（m）+f（n）=|m-2|+|n-2|
≥|（m-2）-（n-2）|=|m-n|，
∴f（m）+f（n）≥|m-n|．
解：（2）設(shè)g（x）=f（2x）+f（-x），
則g（x）=2|x-1|+|-x-2|，
當(dāng)x≤-2時(shí)，g（x）=-3x，此時(shí)g（x）的最小值為6，
當(dāng)-2＜x≤1時(shí)，g（x）=-x+4，此時(shí)g（x）的最小值為3，
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）=3x，此時(shí)，g（x）＞3，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查不等式的解法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意不等式的性質(zhì)的合理運(yùn)用．