Question

20．設在正項數(shù)列{a_n}中，a₁²+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{{a}_{3}}^{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$=4n-3，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前2n項和為$\frac{n}{4n+2}$．

Answer 1

分析 利用遞推關系、“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：∵a₁²+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{{a}_{3}}^{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$=4n-3，
∴n=1時，${a}_{1}^{2}$=1，a₁＞0，解得a₁=1，
n≥2時，a₁²+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{{a}_{3}}^{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}^{2}}{（n-1）^{2}}$=4n-7，
∴$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$=4，a_n＞0，解得a_n=2n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前2n項和=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{4}$$（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{4n+2}$．
故答案為：$\frac{n}{4n+2}$．

點評 本題考查了遞推關系、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．