Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax+b的圖象在點P（0，f（0））處的切線方程是3x-y-2=0．
（1）求a、b的值；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）+（m-3）x在（-2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，點斜式求得切線方程，和已知的切線方程比較系數(shù)可得a、b值；
（2）求出g（x）的導數(shù)，問題轉化為m≥-x²+2x在x∈（-2，+∞）上恒成立，求出h（x）=-x²+2x的最大值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（0）=b，∴點P （0，b），
∵f′（x）=x²-2x+a，
∴函數(shù)f（x）的圖象在點P處的切線斜率為 a，
故此處的切線方程為  y-b=a （x-0），
即 y=ax+b，
又已知此處的切線方程為y=3x-2，
∴a=3，b=-2．
（2）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+3x-2，
∴g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+3x-2+（m-3）x=$\frac{1}{3}$x³-x²+mx-2，
所以g′（x）=x²-2x+m，
又g（x）是（-2，+∞）上的增函數(shù)，
∴g′（x）≥0在x∈（-2，+∞）上恒成立，
即x²-2x+m≥0在x∈（-2，+∞）上恒成立，
即m≥-x²+2x在x∈（-2，+∞）上恒成立，
而h（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1在（-2，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴h（x）的最大值是h（1）=1，
故m≥1．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．