Question

18．設函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c．
（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）設a=b=4，若函數(shù)f（x）有三個不同零點，求c的取值范圍；
（3）求證：a²-3b＞0是f（x）有三個不同零點的必要而不充分條件．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，進而得到所求切線的方程；
（2）由f（x）=0，可得-c=x³+4x²+4x，由g（x）=x³+4x²+4x，求得導數(shù)，單調區(qū)間和極值，由-c介于極值之間，解不等式即可得到所求范圍；
（3）先證若f（x）有三個不同零點，令f（x）=0，可得單調區(qū)間有3個，求出導數(shù)，由導數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點，運用判別式大于0，可得a²-3b＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a²-3b＞0，不能推出f（x）有3個零點．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的導數(shù)為f′（x）=3x²+2ax+b，
可得y=f（x）在點（0，f（0））處的切線斜率為k=f′（0）=b，
切點為（0，c），可得切線的方程為y=bx+c；
（2）設a=b=4，即有f（x）=x³+4x²+4x+c，
由f（x）=0，可得-c=x³+4x²+4x，
由g（x）=x³+4x²+4x的導數(shù)g′（x）=3x²+8x+4=（x+2）（3x+2），
當x＞-$\frac{2}{3}$或x＜-2時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當-2＜x＜-$\frac{2}{3}$時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有g（x）在x=-2處取得極大值，且為0；
g（x）在x=-$\frac{2}{3}$處取得極小值，且為-$\frac{32}{27}$．
由函數(shù)f（x）有三個不同零點，可得-$\frac{32}{27}$＜-c＜0，
解得0＜c＜$\frac{32}{27}$，
則c的取值范圍是（0，$\frac{32}{27}$）；
（3）證明：若f（x）有三個不同零點，令f（x）=0，
可得f（x）的圖象與x軸有三個不同的交點．
即有f（x）有3個單調區(qū)間，
即為導數(shù)f′（x）=3x²+2ax+b的圖象與x軸有兩個交點，
可得△＞0，即4a²-12b＞0，即為a²-3b＞0；
若a²-3b＞0，即有導數(shù)f′（x）=3x²+2ax+b的圖象與x軸有兩個交點，
當c=0，a=b=4時，滿足a²-3b＞0，
即有f（x）=x（x+2）²，圖象與x軸交于（0，0），（-2，0），則f（x）的零點為2個．
故a²-3b＞0是f（x）有三個不同零點的必要而不充分條件．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調區(qū)間、極值，考查函數(shù)的零點的判斷，注意運用導數(shù)求得極值，考考查化簡整理的能力，屬于中檔題．