Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c．
（1）求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程；
（2）設(shè)a=b=4，若函數(shù)f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；
（3）求證：a²-3b＞0是f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)，進(jìn)而得到所求切線(xiàn)的方程；
（2）由f（x）=0，可得-c=x³+4x²+4x，由g（x）=x³+4x²+4x，求得導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間和極值，由-c介于極值之間，解不等式即可得到所求范圍；
（3）先證若f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，令f（x）=0，可得單調(diào)區(qū)間有3個(gè)，求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，運(yùn)用判別式大于0，可得a²-3b＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a²-3b＞0，不能推出f（x）有3個(gè)零點(diǎn)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+2ax+b，
可得y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)斜率為k=f′（0）=b，
切點(diǎn)為（0，c），可得切線(xiàn)的方程為y=bx+c；
（2）設(shè)a=b=4，即有f（x）=x³+4x²+4x+c，
由f（x）=0，可得-c=x³+4x²+4x，
由g（x）=x³+4x²+4x的導(dǎo)數(shù)g′（x）=3x²+8x+4=（x+2）（3x+2），
當(dāng)x＞-$\frac{2}{3}$或x＜-2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)-2＜x＜-$\frac{2}{3}$時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有g(shù)（x）在x=-2處取得極大值，且為0；
g（x）在x=-$\frac{2}{3}$處取得極小值，且為-$\frac{32}{27}$．
由函數(shù)f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，可得-$\frac{32}{27}$＜-c＜0，
解得0＜c＜$\frac{32}{27}$，
則c的取值范圍是（0，$\frac{32}{27}$）；
（3）證明：若f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，令f（x）=0，
可得f（x）的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)．
即有f（x）有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，
即為導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+2ax+b的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
可得△＞0，即4a²-12b＞0，即為a²-3b＞0；
若a²-3b＞0，即有導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+2ax+b的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)c=0，a=b=4時(shí)，滿(mǎn)足a²-3b＞0，
即有f（x）=x（x+2）²，圖象與x軸交于（0，0），（-2，0），則f（x）的零點(diǎn)為2個(gè)．
故a²-3b＞0是f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得極值，考考查化簡(jiǎn)整理的能力，屬于中檔題．