Question

8．在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB．
（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求證：AC⊥FB；
（Ⅱ）已知G，H分別是EC和FB的中點，求證：GH∥平面ABC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用等腰三角形的性質(zhì)，證得BD⊥AC，ED⊥AC，再利用直線和平面垂直的判定定理證得AC⊥平面EFBD，從而證得AC⊥FB．
（Ⅱ）再取CF的中點O，利用直線和平面平行的判定定理證明 OG∥平面ABC，OH∥平面ABC，可得平面OGH∥平面ABC，從而證得GH∥平面ABC．

解答 （Ⅰ）證明：如圖所示，∵D是AC的中點，AB=BC，AE=EC，
∴△BAC、△EAC都是等腰三角形，
∴BD⊥AC，ED⊥AC．
∵EF∥DB，∴E、F、B、D四點共面，這樣，
AC垂直于平面EFBD內(nèi)的兩條相交直線ED、BD，
∴AC⊥平面EFBD．
顯然，F(xiàn)B?平面EFBD，∴AC⊥FB．
（Ⅱ）已知G，H分別是EC和FB的中點，再取CF的中點O，
則OG∥EF，∵OG∥BD，
∴OG∥BD，而BD?平面ABC，∴OG∥平面ABC．
同理，OH∥BC，而BC?平面ABC，∴OH∥平面ABC．
∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC．

點評 本題主要考查直線和平面垂直的判定和性質(zhì)，直線和平面平行的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．