Question

7．已知△ABC的內(nèi)角∠A、∠B、∠C所對的邊為a、b、c，則“ab＞c²”是“∠C＜$\frac{π}{3}$”的充分非必要條件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一種）．

Answer 1

分析 由充分必要條件的定義和三角形的余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可得到結(jié)論．

解答 解：由ab＞c²可得a²+b²≥2ab＞2c²，
即有cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$≥1-$\frac{{c}^{2}}{2ab}$＞$\frac{1}{2}$，
由C為三角形的內(nèi)角，
則有0＜C＜$\frac{π}{3}$；
由∠C＜$\frac{π}{3}$，則cosC＞$\frac{1}{2}$，
由余弦定理可得$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞$\frac{1}{2}$，
（a-b）²-c²＞-ab，
即為c²-ab＜（a-b）²，
則推不出c²-ab＜0，
即有“ab＞c²”是“∠C＜$\frac{π}{3}$”的充分非必要條件．
故答案為：充分非必要．

點(diǎn)評 本題考查解三角形的余弦定理，同時(shí)考查充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．