Question

5．已知a+2b=1且b＞1，則$\frac{1}{a}$+$\frac{a}$的取值范圍（　�。�

• A． （-2，1-2$\sqrt{2}$]
• B． （-∞，1-2$\sqrt{2}$]
• C． [1+2$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [1+2$\sqrt{2}$，4]

Answer 1

分析 根據(jù)條件可得到a＜-1，$\frac{1}{a}+\frac{a}＜0$，且$b=\frac{1-a}{2}$，帶入$\frac{1}{a}+\frac{a}$并整理可得$\frac{1}{a}+\frac{a}=\frac{2{a}^{2}-a+1}{a-{a}^{2}}$，可設$\frac{2{a}^{2}-a+1}{a-{a}^{2}}=m$，可整理成關于a的方程的形式為（2+m）a²-（1+m）a+1=0，并得出該方程為關于a的一元二次方程，并在（-∞，-1）上有解，可設f（a）=（2+m）a²-（1+m）a+1，這樣可由m＜0，f（-1）及判別式△的取值即可得出$m≤1-\sqrt{2}$．而根據(jù)條件可以得出$\frac{1}{a}+\frac{a}=\frac{1}{a}+\frac{1}-2$，從而得出m一定滿足m＞-3，這樣根據(jù)選項便可找出正確選項．

解答 解：由a+2b=1得，$b=\frac{1-a}{2}$①；
∵b＞1；
∴$\frac{1-a}{2}＞1$；
∴a＜-1；
∴$\frac{1}{a}+\frac{a}＜0$；
將①帶入$\frac{1}{a}+\frac{a}$得：$\frac{1}{a}+\frac{a}=\frac{1}{a}+\frac{2a}{1-a}=\frac{2{a}^{2}-a+1}{a-{a}^{2}}$；
設$\frac{2{a}^{2}-a+1}{a-{a}^{2}}=m$，整理成關于a的方程為：（2+m）a²-（1+m）a+1=0②，該方程在（-∞，-1）上有解；
若m=-2，a=-1，不符合a＜-1；
∴m≠-2；
∴方程②為關于a的一元二次方程，在（-∞，-1）上有解；
設f（a）=（2+m）a²-（1+m）a+1，則a應滿足：
f（-1）=2m+4＜0（1），或$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-2y-7＞0}\\{2m+4≥0}\end{array}\right.$（2），或$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-2y-7=0}\\{f（-1）=2m+4＞0}\end{array}\right.$（3）；
解（1）得，m＜-2，解（2）得，$-2≤m＜1-2\sqrt{2}$，或$m＞1+2\sqrt{2}$，解（3）得，$m=1-2\sqrt{2}$；
又m＜0；
∴m$≤1-2\sqrt{2}$；
由a+2b=1得，$\frac{a}+2=\frac{1}$；
∴$\frac{a}=\frac{1}-2$；
∴$\frac{1}{a}+\frac{a}=\frac{1}{a}+\frac{1}-2$；
∵a＜-1，b＞1；
∴$\frac{1}{a}＞-1，0＜\frac{1}＜1$；
∴一定有$\frac{1}{a}+\frac{1}-2＞-3$成立，及m＞-3；
m一定滿足$-3＜m≤1-2\sqrt{2}$；
即$-3＜\frac{1}{a}+\frac{a}≤1-2\sqrt{2}$；
∴只有選項A正確．
故選：A．

點評 考查不等式的性質，以及通過將函數(shù)解析式變成關于自變量的方程的形式，然后根據(jù)方程在自變量所在區(qū)間上有解來求函數(shù)值域的方法，一元二次方程的解的情況和判別式△取值的關系．