Question

13．已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，且c•cosA-acosC=$\frac{2}{3}$b．
（1）其$\frac{tanA}{tanC}$的值；
（2）若tanA，tanB，tanC成等差數(shù)列，求$\frac{{a}^{2}-^{2}-{c}^{2}}{bc}$的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知等式可得：sinCcosA-sinAcosC=$\frac{2}{3}$sinB，整理可得：sinCcosA=5sinAcosC，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得解$\frac{tanA}{tanC}$的值；
（2）利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得2tanB=tanA+tanC，設(shè)tanA=x，由（1）可得tanC=5x，解得tanB=3x，由tanB=-tan（A+C），可得3x=$\frac{x+5x}{5{x}^{2}-1}$，解得tanA的值，由題設(shè)可知，A為銳角，可求cosA，利用余弦定理即可得解$\frac{{a}^{2}-^{2}-{c}^{2}}{bc}$的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵c•cosA-acosC=$\frac{2}{3}$b．
∴由正弦定理可得：sinCcosA-sinAcosC=$\frac{2}{3}$sinB=$\frac{2}{3}$sin（A+C）=$\frac{2}{3}$（sinAcosC+cosAsinC），…3分
∴整理可得：sinCcosA=5sinAcosC，
∴$\frac{tanA}{tanC}$=$\frac{sinAcosC}{sinCcosA}$=$\frac{1}{5}$…6分
（2）∵tanA，tanB，tanC成等差數(shù)列，
∴2tanB=tanA+tanC，
若設(shè)tanA=x，由（1）可得tanC=5x，可得：tanB=3x，
∵tanB=-tan（A+C），
∴3x=$\frac{x+5x}{5{x}^{2}-1}$，解得x=$\sqrt{\frac{3}{5}}$，即tanA=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，…10分
由題設(shè)可知，A最小，一定為銳角，
∴cosA=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}-{c}^{2}}{bc}$=-2cosA=-$\frac{\sqrt{10}}{2}$…12分

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正切函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．