Question

2．已知函數(shù)$f（x）=cosx（{\sqrt{3}sinx-cosx}）$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且f（B）=$\frac{1}{2}$，a+c=1，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)倍角公式和和差角（輔助角）公式，將函數(shù)解析式化為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而根據(jù)ω=2，得到函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）由f（B）=$\frac{1}{2}$，可得$B=\frac{π}{3}$，結(jié)合a+c=1及余弦定理，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到b的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=cosx（{\sqrt{3}sinx-cosx}）$=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x$-\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，
∵ω=2，
∴T=π；
（2）∵$f（B）=\frac{1}{2}$，
∴$sin（{2B-\frac{π}{6}}）=1$，
∵B為三角形內(nèi)角，
∴$2B-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$B=\frac{π}{3}$，
由${b^2}={a^2}+{c^2}-2accosB，a+c=1，cosB=\frac{1}{2}$，
得${b^2}=3{（{a-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{4}$，
又a+c=1，則0＜a＜1，
∴$\frac{1}{4}≤^{2}＜1$，
即$b∈[{\frac{1}{2，}1}）$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，余弦定理，其中利用倍角公式和和差角（輔助角）公式，將函數(shù)解析式化為正弦型函數(shù)的形式，是解答的關(guān)鍵．